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函数的单调性与导数-学易试题君之每日一题君2017-2018学年下学期高二数学(文)人教版(课堂同步系列二)

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6 月 6 日 函数的单调性与导数 高考频度:★★★★★ 难易程度:★★★☆☆ 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c . (1)设 a ? b ? 4 ,若函数 f ( x ) 有三个不同零点,求 c 的取值范围; (2)求证: a 2 ? 3b ? 0 是 f ( x ) 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【参考答案】 (1) (0, 32 ); (2)证明见试题解析. 27 【试题解析】 (1)当 a ? b ? 4 时, f ( x) ? x3 ? 4x2 ? 4x ? c ,所以 f ?( x) ? 3x2 ? 8x ? 4 . 令 f ?( x) ? 0 ,得 3x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? ? 2 . 3 f ( x) 与 f ?( x ) 在区间 (??, ??) 上的情况如下: x f ?( x ) f ( x) (??, ?2) ?2 2 ( ?2, ? ) 3 ? 2 3 2 (? , ??) 3 ? 0 ? 0 c? 32 27 ? c 所 以 当 c ?0 且 c? 32 2 2 ? 0 时 , 存 在 x1 ? (?4, ?2) , x2 ? (?2, ? ) , x3 ? ( ? , 0) , 使 得 27 3 3 32 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 .由 f ( x) 的单调性知,当且仅当 c ? (0, ) 时,函数 f ( x) ? x3 ? 4x2 ? 4x ? c 27 有三个不同零点. 综上所述,若函数 f ( x ) 有三个不同零点,则必有 ? ? 4a 2 ? 12b ? 0 ,故 a 2 ? 3b ? 0 是 f ( x ) 有三个不同零 点的必要条件. 当 a ? b ? 4 ,c ? 0 时,a 2 ? 3b ? 0 , f ( x) ? x3 ? 4 x2 ? 4 x ? x( x ? 2)2 只有两个不同零点, 所以 a 2 ? 3b ? 0 不是 f ( x ) 有三个不同零点的充分条件. 因此 a 2 ? 3b ? 0 是 f ( x ) 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【解题必备】 (1)利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式 f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )在给定区间上恒成立.一般步骤:①求 f ?( x ) ;②确认 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的符号; ③作出结论, f ?( x) ? 0 时为增函数, f ?( x) ? 0 时为减函数. 注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定 义域为实数集 R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于零的点外,还要注意在 定义域内的不连续点和不可导点.学=科网 (3)由函数 f ( x) 的单调性求参数的取值范围的方法:①可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区 间上 f ?( x) ? 0 (或 f ?( x) ? 0 )( f ?( x ) 在该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立, 然后分离参数, 转化为 求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;②可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是 f ?( x) ? 0 (或 f ?( x) ? 0 )在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;③若已知 f ( x) 在区间 I 上的单调性,区间 I 中含有参数时,可先求出 f ( x) 的单调区间,令 I 是其单调区间的子集, 从而可求出参数的取值范围. (4)利用导数解决函数的零点问题时,一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点,再 利用导数判断在所给区间内的单调性,由此求解. 1.若函数 f ( x) ? A. [ , ??) 1 x3 a 2 ? x ? x ? 1在区间 ( ,3) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 2 3 2 B. [ , ??) 1 3 5 3 C. [ 10 , ?? ) 3 D. [ 16 , ?? ) 3 2.已知函数 f ( x) ? ln x ? x 在 x ? 1 处的切线方程为 2 x ? y ? b ? 0 . a (1)求实数 a , b 的值; (2)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 1 2 x ? kx ,且 g ( x) 是其定义域上的增函数,求实数 k 的取值范围. 2 1. 【答案】C 【解析】因为 f ?( x) ? x2 ? ax ? 1 , x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 ( ,3) 上恒成立,所以 解得 a ? 1 2 5 1 ? a ? 0 且 10 ? 3a ? 0 , 4 2 10 10 .故实数 a 的取值范围是 [ , ?? ) .故选 C. 3 3 2. 【答案】 (1) a ? 1 , b ? ?1 ; (2) (??,3] . ln x 1 ? x ,所以 f ?( x) ? ? 1, a ax 1 因为 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 2 x ? y ? b ? 0 ,所以 ? 1 ? 2 , 2 ? 1 ? b ? 0 ,解得 a ? 1 , b ? ?1 . a 【解析】 (1)因为 f ( x) ?



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