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【全程复*方略】高中数学 3.2 第1课时 等比数列的前n项和多媒体教学优质名师课件 北师大版必修5

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3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和

1.掌握等比数列的前n项和公式,并用公式解决实际问题. 2.由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和 公式. 3.从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别”的 策略方法.

明总:在一个月中,
我第一天给你一万, 以后每天比前一天多
给你一万元.

林总:我第一
天还你一分钱, 以后每天还的钱 是前一天的两倍.

林总:哈哈!这么
多钱!我可赚大了, 我要是订了两个月、 三个月那该多好啊!
果真如此吗?

想一想:
请你们帮林总分析一下这份合同是否能签?

贷款钱数:
T30 ? 1? 2 ? 3 ? ? 30
? ?1? 30??30 ? 465?万元?.
2
还款钱数:
S30 ? 1? 2 ? 22 ? ? 229 ?分?.

问题1:如何求S30?T30和S30哪个大?
S30 ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ? 229 , ①

2S30 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 229 ? 230. ②

由① - ②,得

错位相减法

?1? 2? S30 ? 1? 230, 即S30 ? 230 ?1.

想一想: 你们还有什么方法?
S30 ? 1? 2 ? 22 ? ? 229
? ? ? ? ? 1? 2 1? 2 ? 22 ? ? 228 ?1? 2 S30 ? 229 ,
S30 ? 2S30 ? 1? 230 , S30 ? 230 ?1
?1 073 741 823?分? ?1 073.74?万元?.

明总:这是
我做的最成功 的一笔生意!

问题2:你会求1+ q + q2 + q3 + ...+ qn-1的和吗?

S n30 ? 1? q2 ? q22 ? q23 ?

q2 ? , n2-91



q2 S 3n0 ?q2 ? q22 ? q23 ?

q q 2 2 ? ? . n2-91

3n0 ②

? ? 由① ? ② ,得 1? q2 Sn30 ?1?q23n0 ,

? ? qq , Sn

? n,

? ??S1n3?0 q?n

? ?

1?

q

.

1? 1?

2?3nq0 ? 1? 2?q ? 1?

即Sq30??1230 ?1

问题3:你会求等比数列 ?an? 的前n项和吗?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? a1qn?1

? ? ? a1 1? q ? q2 ? ? qn?1

? na1,

? ? Sn

? ? ? a1

1? qn

? ?

1? q

? a1 ? anq 1? q

?q ? 1? ?q ? 1?

例1: (1)已知等比数列?an?中,a1 = 2,q = 3,求S3;

(2)求等比数列1,1 ,1 ,1 ,...的前10项的和 . 248

? ? 2? 1? 33
解:(1)S3 ? 1? 3 ? 26 .

(2)因为公比q ? 1 2



S10

?

1? [1 ?( 1 )10 2

]

?

1

023

1? 1

512

.

2

例2: 五洲电扇厂去年实现利税300万元,计划在以后5年中

每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是

多少?这5年的总利税是多少(结果精确到万元)?

解:每年的利税组成一个首项a1=300,公比 q=1+10%的等比数列.从今年起,第5年的利税为

a6 ? a1q5 ? 300? (1?10%)5 ? 300?1.15 ? 483(万元)

这5年的总利税为

S ? a2 (q5 ?1) ? 300?1.1? 1.15 ?1 ? 2 015(万元)

q ?1

1.1 ? 1

1.等比数列1,1 ,1 ,1 ,...的前多少项和为127?

248

64

? ? 解析:已知a1

=

1,q

=

1 2

,Sn

=

127 64

,求n

. 由公式Sn

=

a1

1- qn 1-q

得n = 7

.

2.求等比数列1,1 ,1 ,1 , 的第5项到第10项的和. 248

解析:已知a1

=

1,q

=

1 2

得a5

=

1 16

,a10

=

1 512

,

由公式得S

=

1 16

-1 512 1- 1

1 ?2

=

63 . 512

2

3.求等比数列1,1 ,1 ,1 , 的前2n项中所有奇数项的和 248
的表达式.

解析:已知a1

=

1,q

=

1 4

,项数为n,求Sn ,

? ? ? ? 由公式Sn

=

a1

1- qn 1-q

得Sn

=

4 3

1 - 4-n

.

1.本节课主要学*了等比数列的前n项和公式

?na1 ,

?q = 1?

? ? Sn

=

? ?

a1

1- qn

? ?

1-q

=

a1 - anq 1-q

.?q

≠1?

及其简单应用.

2.本节课用到了由特殊到一般的思想、错位相减法、分

类讨论思想、方程思想等.

装饰对于德行也同样是格格不入的,因为德

行是灵魂的力量和生气。

——卢梭




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